응용수학과

조열제(경상대학교)

I. 들어가며

1901년 영국의 수학자 페리는 영국 학술협회의 총회에서 “수학의 유용성에 대하여”라는 강연으로 수학의 유용성과 필요성에 대해서 여러 가지를 주장 한 적이 있었지만, 세월이 지나면서 수학의 유용성 과 필요성이 조금씩 바뀌어야 하는 것은 어쩌면 당 연한 것인지 모릅니다. 그 당시의 사회적 구조와 오늘날의 사회적 구조가 많이 바뀌었기에 그때보다 수학의 유용성과 필요성 또한 더 중요하게 여겨지 기 때문이리라 생각합니다.

그래서 현 시점에서 수학의 유용성과 필요성에 대해서 생각해 보는 것도 큰 의미가 있다고 생각하 여, 오늘날 우리들이 자주 접하는 질문 “수학을 왜 배워야 합니까?”라는 주제를 갖고 나름대로 정리 요약하여 보았습니다. 이 글을 통해서 수학을 가르 치는 자와 배우는 자 모두가 수학의 중요성을 다시 한 번 인식함으로써 수학공부의 동기 유발에 조금 이나마 도움이 되었으면 합니다.

수학을 연구하고 가르치는 우리는 수학이란 학문 자체에 대한 충분한 지식 외에도 수학을 공부함으 로써 얻을 수 있는 것에 대해서 단순히 학문적 입 장이 아닌 교육적 입장에서 분명한 사명감과 가치 관을 갖추고 있어야 한다고 생각합니다.

수학교육에 대한 올바른 사명감과 가치관은 수학 선생으로 하여금 자신이 담당한 수학 교과의 학습 지도에 대한 열의와 자긍심을 갖게 할 뿐만 아니라, 이 열의와 자긍심은 자연히 수준 높은 양질의 수학 학습지도를 가능하게 해줍니다.

그리고 배우는 학생들의 입장에서도 현재 학습하고 있는 수학이 갖는 가치와 중요성을 보다 더 정확하 게 파악하게 함으로써, 수학학습 활동이 보다 더 의미 있게 되고, 학습 태도나 흥미 등의 정의적 측 면에서도 좋은 효과를 거둘 수 있게 될 것입니다 (강완, 백석윤: 초등수학교육론을 참고함).

이런 측면에서, 수학 선생이 수학을 왜 배우는지 모른 채 학생들을 가르치는 것과 수학을 왜 공부해 야 하는가를 알고 가르치는 것 사이의 차이는 수학 을 공부하는 학생들에게 아주 큰 영향을 줄 것이라 는 생각을 하지 않을 수 없습니다.

아무쪼록 이 글을 통해서, 우리들이 공통적으로 생각하는 “수학을 왜 배웁니까?”라는 질문에 보다

더 좋은 답을 얻기 위해서 독자들의 보다 더 좋은 의견들을 모으면, 이 글보다 더 좋은 답을 얻을 것 으로 확신합니다.

II. 수학이란?

수학은 기원전 5, 6세기 경 메소포타미아 및 그 리스 시대 때부터 시작하여 인류의 역사만큼이나 오랜 역사를 가지고 있습니다. 곧 수학의 역사가 학문의 역사라고 해도 과언이 아닙니다. 이와 같이, 수학이란 인류의 역사와 더불어 수천 년 동안 인류 전체가 공동으로 참여하여 이룩한 인 류의 장대한 문화라 할 수 있으며, 이것이 이른바 “학문으로서의 수학”입니다.

그 이후에 많은 수학자들이 수학을 여러 가지 관 점에서 정의를 내렸습니다.

예를 들면, 18세기 초에 로크는 “수학은 인간의 정신 속에 추론의 습관을 정착시키는 방법을 제고 하는 것이다”라고 말했습니다. 즉, 수학이란 수학 을 학습하는 학생들에게 논리적으로 추론하는 정신 적 능력을 배양하는 이른바 정신력을 도야시키는 소재가 됨을 의미합니다.

20세기를 맞아 수학은 그 양으로나 질로나 가히 폭발적이라고 말할 수 있을 만큼 방대하고 다양하 게 발전해 왔습니다. 결국, 수학을 간단하게 쉽게 정의할 수 없게 되었습니다. 그리하여 “수학이란 무엇인가에는 분명한 해답을 줄 수 없어도, ‘수학 이 아닌 것은 무엇인가’에는 해답을 줄 수 있다”라 는 유명한 말이 생기게 되었습니다.

그래서 러셀은 “수학이란 그 내용이 무엇인지, 또 그것이 참인지 거짓인지도 전혀 모르는 학문이다”라 고 경고했습니다. 한편, 공리주의적 수학을 창조한 힐베르트는 “수학이란 모든 과학적 사유의 일반적인 대상이 될 수 있는 것, 곧, ‘이념적 존재’ 전체를 대상 으로 하고, 이들에 공리적 방법을 적용시킬 수 있는 것을 말한다”라고 수학을 정의하였습니다. 현대 수학에 큰 영향을 주고 있는 부르바키는 힐 베르트의 “이념적 존재”에 접근하기 위하여 추상적 존재로서의 집합, 원소, 함수 등을 끌어내어, 이것 을 “수학적 체계”라고 말했습니다.

현대 수학이 이와 같은 사상 아래에서 추진 및 발전 하고 있으므로, 현대 수학을 “구조주의적 수학”이라 부를 수 있습니다. 즉, 구조주의적 수학이란 “집합 ＋공리와 함수＋공리”로 이루어진 수학을 말합니다. 물론, 그 외에 많은 수학자들이 내린 수학 정의들 은 여러 수학자들로부터 찬사와 비판을 받기도 하였 지만, 수학을 정의하려는 시도들은 수학의 전체 상황 을 파악하는 데는 큰 도움이 된다고 생각합니다. 그러나 작금의 한국의 기초과학 현실을 볼 때, 많은 대학에서 수학과가 완전히 폐과 또는 통폐합 되거나, 수학과의 학과 이름이 생전에 들어보지도 못한 이름으로 바뀌고 있는 상황에서, 미래의 수학 의 정의는 어떻게 변할까 사뭇 기대 반 우려 반입 니다.

그럼, 수학의 어원에 대해서 알아봅시다. 영어로 “Mathematics(수학)”라는 단어는 그리스어 “mathesis” 또는 “mathemata”로부터 생겨났다고 전해집니다. 이 뜻은 “배우는 모든 것”이나 “정신 수양”을 뜻합 니다. 한문에서 수학(數學)의 수(數)라는 단어는 “셀 수(數)”라는 뜻도 있지만, 학문을 말할 때는 “사물 의 이치나 도리”를 뜻합니다.

그래서 프랑스의 유명한 수학자 포앙까레는 이렇게 말했습니다. “수학은 마음을 경영하는 학문이다.” 우리는 조금만 생각하면 해결할 수 있는 문제들 조차 생각하기 귀찮아 하거나 깊이 생각하지 않고 적능적으로 문제들을 처리하여 해결하지 못하는 경 우가 많습니다. 이것은 모두 수학적 훈련을 제대로 받지 않았기 때문입니다. 비정상적인 사회에 살다 보면 어렵고 힘든 일들이 한없이 일어나는데, 이러 한 어려운 일들을 극복하도록 도와주는 극기 훈련, 즉, 마음을 경영하는 학문이 바로 수학입니다(서울 대 김홍종 교수님의 글 중에서).

유클리드가 가르치는 제자 중에는 톨레미 1세의 아들인 톨레미 2세 왕자도 있었습니다. 톨레미 2세 역시 “기하학 원론” 배우는 것을 어려워했습니다. 그는 유클리드에게 “선생님, 원론을 좀 더 쉽게 공 부하는 방법은 없습니까?”라고 물었습니다. 유클리 드는 왕자의 신하였지만 이렇게 대답하였습니다.

“왕자님, 기하학에는 왕도가 없습니다.”

여기서 왕도란 왕이 따로 다니는 길, 즉 왕만이 할 수 있는 방법을 말합니다. 다시 말하면, 왕이거나 거지거나 이 기하학을 배우는 데는 구별하여 가르칠 수는 없다는 말입니다. 톨레미 2세가 아무리 왕자라 해도 유클리드는 제자에게 그렇게 말한 것입니다.

또, 수업 중에 한 제자가 “선생님, 왜 수학을 배 웁니까?”라는 질문을 했습니다. 유클리드 선생은 대 답 대신에 “너는 실용성이나 바라는 더러운 심성을 가진 놈”이라 내뱉으면서, 동전 몇 푼 던져주며 그 제자를 내？아 버렸다는 유명한 일화가 있습니다. 생각건대, 수학공부가 그만큼 어렵기 때문에 많 은 사람들이 질문하는 것 같습니다.

“우리는 왜 수학을 공부해야 합니까?”, “수학을 왜 가르칩니까?”, “수학을 어떻게 공부하면 잘 할 수 있을까요?”, “수학을 공부하면 우리는 어떤 것을 얻습니까?”라고.

물론, 수학을 연구하고 가르치는 수학자에게도 수학은 어려운 학문입니다. 사실은, 교실 현장에서 많은 학생들이 어려운 수학문제를 만나면, 답을 얻 을 때까지 계속해서 풀려고 노력하지 않고, 도중에 그냥 포기해 버립니다. 이것이 학생과 수학을 가르 치고 연구하는 사람과의 차이점이라 생각합니다. 따라서 수학을 가르치는 우리는 학생들이 수학을 포기하지 않도록 학생들이 수학의 중요성을 잘 깨 닫게 하고, 수학에 흥미를 갖도록 유도하여, 아무 리 어려운 수학문제라도 끈기를 갖고 끝까지 잘 풀 수 있도록 힘을 길러 주어야 합니다.

어떤 의미로는 “수학을 왜 배웁니까?”라는 질문 은 다음과 같은 질문과 다름없다고 생각합니다. 즉, “인생이란 무엇입니까?” “삶이란 무엇입니까?” “행복 이란 무엇입니까?” 이러한 질문에 우리는 원론적인 답은 줄 수 있겠 지만, 본질적인 답을 줄 수 없습니다. 그래서 많은 학자들이 이 물음에 답을 구하기 위해 오늘도 끊임 없이 노력하고 있습니다.

물론, 수학도 그렇습니다. “수학을 왜 공부합니까?” 등의 물음에 본질적인 답을 주기 위해서, 지금도 많은 수학자들이 노력하고 있습니다. 수학자 데블린은 “수학은 자연현상과 사회현상의 패턴, 나아가 생각의 모든 패턴까지도 연구하는 학 문”이라고 했습니다. 그러나 수학을 보는 입장에는 큰 차이가 있지만, 수학은 일상성, 구체성, 유용성 과 함께 추상성, 형식성, 엄밀성의 양면을 가졌기 때문에, 어디에나 내재된 그리고 필요한 분야임은 틀림없습니다.

사람은 기본적으로 수학적 능력을 타고 난다는 흥 미로운 실험결과가 있습니다. 심리학자들은 실험을 통해서 “갓 태어난 애기에게 인형을 한 개 보여주 고 커튼 뒤로 보내고, 다시 한 개를 보여주고 커튼 뒤로 보낸 뒤 커튼을 치우고 2개를 보여주면 안 놀라지만, 이 때 3개를 보여주면 크게 놀라면서 오 래 응시한다”는 실험을 통해서 “사람이 수적인 감 각과 수의 연산 능력을 갖고 태어난다”고 주장하였 습니다.

이와 같이, 사람은 수학적 사고의 유전자를 타고 났는데도, “왜 학생들은 수학을 어려워하고 흥미를 잃게 되는 것일까요?”

여러 가지 설명이 가능하겠지만 가장 중요한 원 인은 “사람이 수학적 유전자를 삶속에서 활용하는 능력으로 갖고 태어나는 데 반해서, 학교교육에서 수학은 다른 교과목과의 연결은 물론, 실제의 삶의 활동과도 별로 연결해 주지 않는 데 있다”고 생각 합니다.

그래서 수학자의 바람은 “통합적이고 삶과 연결되 는 수학교육을 통해서, 우리 모두가 가지고 태어나 는 수학적 유전자를 잘 개발하고 활용해서, 대학입 시철마다 수학이 애물단지가 되는 일이 더 이상 없 도록 노력해야 할 것입니다” (이화여대 이혜숙 교 수님의 글 중에서).

수학은 어떤 학문이나 예술보다도 더 많은 상상 력을 필요로 하기 때문에 재미있고, 아름다운 과학 입니다. 좀 더 보충 설명하자면, 수학은 겉보기에 는 어렵고 감정이 없는 냉혹한 학문처럼 보이지만 막상 들어가 보면 쉽고, 감성이 풍부한 따뜻한 학 문이라는 이야기입니다. 따라서 우리는 학생들이 수학을 회피하지 않도록 열심히 가르쳐야 합니다. 수학은 모든 과학의 기초과목입니다.

III. 수학을 왜 배웁니까?

르네상스 시대 화가들의 교과서인 ‘회화론’을 보 면 “화가는 기하학을 모르면 그림을 제대로 그릴 수 없다”고 못을 박고 있으며, 또, 그리스 시대의 미술을 보아도 “미술은 곧 수학이다”는 것을 확인 할 수 있습니다. 이것은 미술의 주요 형식인, 조화, 균형, 통일성, 대칭성 등은 한결같이 수학적 요소 를 담고 있기 때문이지요.

음악도 마찬가지입니다. “수학이 마음을 다스리는 음악이라면, 음악은 영혼을 다스리는 수학이다”라 고 어느 시인이 노래 불렀습니다.

이러한 것은 수학이 문화적인 안목을 높여주는 데 도 큰 역할을 함을 보여주는 글입니다. 1901년 영국의 페리는 영국 학술협회의 총회에 서 “수학의 유용성에 대하여”라는 강연으로 수학의 유용성과 필요성에 대하여 다음과 같이 주장한 적 이 있습니다 (김연식, 김흥기: 수학 I, 교사용 지도 서를 참고함).

(1) 고상한 정서를 가지게 하고 기쁨을 준다. 
(2) 두뇌의 발달과 수학 자체의 연구에 유용하다. 
(3) 과학 연구에 기초가 된다. 
(4) 각종 시험에 합격하게 한다. 
(5) 손발과 같이 쓸 수 있는 지적 도구가 된다. 
(6) 권위에 굴하지 않고 자기 생각을 관철시킬 수 있는 중요한 능력을 길러 준다. 
(7) 과학자에게는 그 기초가 되는 원리를 알게 해 준다. 
(8) 철학자에게는 논리적인 완성으로 도움을 주고, 또 순수한 추상론에 빠지지 않도록 도와준다.

수학은 오늘날 사회의 모든 분야에서 중요한 역 할을 담당하고 있는 대표적인 학문 분야 중에 하나 입니다. 자연과학, 공학, 산업, 기술 분야에서의 수 학의 중요성은 말할 것도 없거니와 경제, 사회, 문 화, 예술 등에서도 중요한 도구로 사용되고 있습니 다. 최근에 심지어 인문 사회학 중에서 심리학에서 도 수학이 응용되고 있습니다. 즉, 수학은 모든 학 문의 기초가 된다는 말입니다. 수학을 배우는 목적 을 다음과 같이 요약하여 보았습니다.

1. 수학은 참과 거짓을 구별하는 힘을 길러 줍니다. 수학에서 다루는 문제는 참 아니면 거짓인 명제 만 취급하기 때문입니다. “저 여자는 아름답다”라 는 명제는 보는 사람에 따라서 예쁘게 보일 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다. 이런 명제는 수 학에서 다루지 않습니다.

예를 들면, 시나 수필 등은 읽는 독자에 따라서 느낌이 다릅니다. 시인이나 수필가의 주관에 따라 글을 쓰기 때문입니다. 그러니 정확한 답이 없습니 다. 그러나 수학문제는 어느 누가 풀어도 정확한 답은 한 가지입니다. 즉, 참과 거짓이 분명하지요. 그러므로 수학의 눈으로 엄밀하게 분석하면서 사 물을 관찰하고 말과 글을 읽으면, 그들의 참과 거 짓을 정확하게 판별할 수 있는 힘이 생깁니다. 그 결과, 자신의 생각을 떳떳하게 밝힐 수 있고, 남의 의견을 진지하게 들으며 존중하게 하고, 옳고 그름을 정확하게 판단하여, 진지한 토론을 이끌어 내는 힘을 길러줍니다.

2. 수학은 말과 글의 논리성을 길러 줍니다. 유클리드의 기하와 같이 수학은 엄밀한 논리적 구조로 이루어져 있습니다. 즉, 분석적이고 단계적 으로 전제나 선행 명제로부터 후속 명제가 정당하 게 이끌어 내어지고 있는 것입니다.

예를 들면, “A이면 B이고 B이면 C이다. 그러므 로 A이면 C이다.” 삼단논법의 이러한 증명과정이 얼마나 깨끗합니까. 문제풀이 과정이 뒤죽박죽이 되면 정확한 답을 이끌어 낼 수 없습니다. 따라서 수학문제를 생각하며 풀다보면, 우리도 모르는 사이 에 사고의 논리성과 엄밀성이 생깁니다.

말을 할 때도, 상대방에게 자기의 뜻을 정확하게 전달하려면, 간단명료하면서 논리 정연하게 말을 해야만 상대방이 나의 말을 잘 이해할 수 있습니 다. 그러므로 수학 없는 논술공부는 큰 효과가 없 다고 생각합니다.

예를 들면, 쾨니히스베르크의 일곱 개의 다리 위 를 거닐던 보통 사람들은 기분 좋은 산책 정도로 기억할 것입니다. 그러나 스위스의 수학자 오일러 는 거기서 논리를 찾아내어 새로운 수학의 한 분야 인 대수적 위상수학을 개척할 수 있었습니다 (한붓 그리기의 오일러의 정리).

3. 수학은 사고의 집중력을 길러 줍니다. 어떤 일이나 공부의 성과는 집중력에 달려 있다 고 강조합니다. 집중력이란 “하나로 모아진 사고의 힘일 뿐만 아니라, 자신의 의지에 따라 정신을 하 나로 모을 수 있는 힘”을 말합니다. 수학문제를 풀 때, 잡다한 생각을 하게 되면 정확 한 답을 이끌어 낼 수 없습니다. 복잡한 수식 등을 계산할 때 약간이라도 정신집중을 하지 않으면, 정 확한 답을 얻을 수 없습니다.

한 치의 오차라도 생기면 답은 엉터리가 됩니다.

이렇게 복잡한 정리의 증명과정이나 많은 수학공식 등을 유도하다 보면, 우리도 모르는 사이에 사고의 집중력이 저절로 생깁니다.

사고의 집중력이 떨어지면 모든 과목의 학습효과가 반감됩니다.

요즘 초, 중등 학생들이 정신병원을 많이 찾는 이유가 정신집중력의 결핍 때문이라는 이야기를 많 이 들었습니다. 그들에게 수학을 체계적으로 가르 치면, 집중력 향상에 아주 큰 효과가 있으리라 생각 합니다.

4. 수학은 문제 해결력을 길러 줍니다.

문제 해결력이란 “문제를 이해하는 능력, 주어진 조건과 구하려는 것 사이의 관계를 파악하여 해결 계획을 수립하는 능력, 연산 능력, 검증 능력, 일반 화의 능력 등 수학의 기초 개념, 원리, 법칙을 발 견하는 능력”이라 생각 할 수 있습니다. 즉, 문제해결은 “주어진 상태에서 바람직한 상태, 즉, 목표 상태로 가는 최단 경로를 찾는 활동”입니다. 예를 들면, 이 세상을 살다 보면 여러 가지 어려 운 문제에 부딪히게 됩니다. 어떤 사건이 발생하면 우리는 어떻게 대처하여야 합니까? 먼저, 다음의 네 가지를 생각합니다.

첫째, “사건의 원인과 결과가 무엇인가?” 일어난 사건의 이해와 분석에 관한 것이고,

둘째, “사건의 해결책이 있는가?” 존재성에 관한 것이며,

셋째, “사건을 어떻게 해결할 것인가?” 해결 방법 에 관한 것이며,

넷째, “제시한 해결책이 바른가?” 해결한 것을 최 종 검증하는 과정입니다.

수학에서는 문제 상태에서 적절한 알고리듬을 사용 하여 해결책에 이르는 길을 찾는 반면에, 바둑 등 은 수읽기 기법을 활용하여 해결책에 이르는 길을 찾는답니다.

5. 수학은 창의력을 높여 줍니다. 창의력이란 “새로운 의견을 생각해 내는 힘”을 의미한다. 즉, “이미 알려져 있지 않은 참신한 아 이디어나 또는 그러한 아이디어의 복합체를 생산해 내는 능력으로 정의”합니다.

새로운 수학문제를 풀기 위해서 그 문제를 어떻 게 풀어야 할지 우리는 많은 생각을 하게 됩니다. 이런 저런 수학의 이론들을 적재적소에 활용하여 그 문제를 풀려고 하지요. 이렇게 하다 보면, 자기 도 모르는 사이에 그 문제를 해결하는 새로운 방법 을 찾아내게 됩니다. 이런 새로운 아이디어나 방법 들을 찾아내는 반복 작업을 통해서 새로운 창의력 이 자연스럽게 길러집니다. 이러한 수학에서의 창의 력은 실생활에도 많이 응용됩니다. 어떤 어려움이 닥치면 그 문제를 해결할 수 있는 새로운 방법을 스스로 찾아내어집니다.

제안한다면, “틈이 날 때는 어떤 주제를 정하여 논리적으로 생각하는 습관을 가지는 것”이 창의력 을 높여 주는데 많은 도움이 됩니다.

예를 들면, 운동선수들은 자신이 경기를 좀 더 잘하는 모습을 머릿속에 그려보면, 기대감이 강화 되고 실제 경기에서 더 잘하게 된다고 합니다. 창의 적인 노력도 마찬가지입니다. 자신이 하는 일에서 창의적인 결과를 그려보고 기대하는 사람들은 그렇 지 않은 사람들보다 창의적인 결과를 얻어낼 가능 성이 높다고 합니다.

미국의 유명한 물리학자이자 수학자인 페인만은 창의력을 기르기 위해 다음과 같이 해보라고 권했 습니다.

“여러분! 어떤 원리를 보면 증명하는 훈련을 하 세요. 처음에는 남이 해 놓은 증명을 따라하고 점점 스스로 새로운 증명을 해보는 습관을 기르세요. 그 렇게 증명하는 습관을 가지면 어느새 자신도 모르 게 다른 사람이 한 번도 못한 새로운 원리를 발견 하게 됩니다.”

6. 수학은 응용력을 길러 줍니다.

초등학교 학생이 구구단을 배울 때는 일단 외우고 봅니다. 과학 공부도 일단 기본적인 사실과 원리를 배우고 주어진 문제를 푸는 것으로 출발하지만, 사고 의 폭이 좀 더 넓어지면 전에 배웠던 내용에 대한 이해가 깊어지고 더불어 응용력도 생겨납니다. 수학의 응용은 아주 중요합니다. 수학의 많은 이 론들을 사용해서 아주 어려운 수학문제를 해결합니 다. 적재적소에 수학이 어떻게 응용되는가는 문제 를 해결하려는 노력 가운데 생겨나지요. 이런 작업 을 우리는 응용력이라 합니다.

또, 수학의 많은 이론들은 물리, 화학, 생물, 지구 과학, 공학, 생명공학, 인문 사회, 음악, 미술, 체육, 경제학, 경영학, 심리학 등 우리 사회의 많은 분야 에서 응용됩니다. 이와 같이 우리 사회의 모든 분야 인 인문학, 사회학, 의학 및 자연과학을 설명하는 데 쓰이는 수학을 우리는 응용 수학이라 합니다.

7. 수학은 일관성과 계통성을 길러 줍니다.

모든 수학책을 보면 공리, 정의, 예제, 보조정리, 정리, 정리의 증명, 따름정리 등으로 한 주제에 대 한 이론들이 거의 일관성 있게 이루어져 있습니다. 처음부터 정의, 즉, 일종의 약속을 지키면서 체계 적으로 일관성 있게 전개되어야 합니다. 이렇게 수학 을 공부함으로써 어떤 일을 시작하면 도중에 포기 하지 않고, 끝까지 해결해 나가는 일관성이 몸에 배이게 됩니다.

초지일관이란 말, 즉 처음에 세운 뜻을 이루려고 흔 들림 없이 끝까지 밀고 나가야 된다는 뜻입니다. 이 것이 어쩌면 수학에 의해서 생긴 힘일지도 모릅니다. 물론, 논리성과 일관성은 약간의 차이점이 있습니다. 수학적 개념의 성장은 어떤 기초적인 내용을 기반 으로 하여 그 기반위에 다른 내용을 더 첨가함으로 써, 기초적인 내용과 새로운 내용을 일관성 있게 이어나가면서 이루어집니다.

이러한 성장 과정을 거친다는 의미에서 수학은 계통적이라 할 수 있습니다. 계통성은 수학 교육 과정의 구성에 핵심적인 역할을 합니다. 즉, 계통성은 “학습 내용의 순서를 정할 때 논리적 연결성을 가지고, 학습이 단계적으로 이루어지도록 해 주는 것이며, 개별적이고 독립적으로 산재해 있 는 수학문제 속에 내포된 정의, 풀이방법 등을 중 심으로 관련되는 수학문제들을 사슬과 같이 엮는 것”을 말합니다.

이렇게 함으로써 “다양한 성질들 간의 상호 관련성 을 파악하고, 스스로 새로운 문제를 만들어 내는 등의 수학적 사고력의 신장이 이루어 질 수 있다” 고 생각합니다.

잘 알려진 대로, 자연수, 정수, 유리수, 실수로의 확장은 바로 이러한 계통성의 전형적인 예라고 할 수 있습니다.

수학은 여러 가지 관계나 문제를 해결하기 위해 서 통일된 정의와 정리 등을 이용하여 체계적으로 일관성 있게 전개하는 학문입니다. 따라서 우리가 일상생활을 할 때 부딪치는 많은 문제들을 통일된 원칙 밑에서 순서에 따라서 해결할 수 있는 힘을 길러 줍니다.

8. 수학은 직관적인 통찰력을 길러 줍니다.

직관적 통찰력은 “사고의 대상을 인지하는 활동 이 다소 분명치 않으나, 전체를 영감에 의해서 감 지할 수 있는 힘”입니다.

중등학교 수학책에 보면 기하학을 많이 다루고 있습니다. 자나 콤파스 등을 이용하여 점, 직선, 원, 타원, 쌍곡선, 직사각형 등의 여러 가지 도형과 입체도형 등을 그려보며, 길이의 비례, 여러 가지 도형의 넓이, 체적, 변의 길이 등을 측정할 수 있 습니다.

이런 학습활동을 함으로써, 실제 일상생활에서 접 하는 여러 가지 물건의 크기, 부피, 길이 등을 추 리해 낼 수 있습니다. 수학의 증명 과정도 일종의 추리입니다.

증권의 예를 들며, 증권은 생리상 완전한 정보에 접할 수가 없다는 점을 감안하면, 결국은 추리를 해 야 하는데, 추리에서 가장 중요한 것은 직관적인 통찰 력입니다. 이것을 잘 활용하지 않고는 결코 증권에 서 돈을 벌기가 쉽지 않습니다. 증권은 단순한 계산 만으로는 투자가치를 창출하기가 힘듭니다. “증권투 자에서 이익을 남기기 위해서는 정확한 계산과 함 께 섬세한 추리력, 미묘한 통찰력과 영감, 경험 등 에서 오는 분별력이 잘 조화롭게 이루어지는 것”이 중요합니다.

9. 수학은 간결성과 일반화시키는 능력을 길러 줍니다.

수학에서 사용되는 정의를 비롯하여 수학적 성질 이나 사실, 원리, 정리, 증명 등은 모두가 최소한의 언어로 최대한의 의미를 표현하려는 수단들입니다. 이와 같은 간결한 표현 속에는 밀도 높은 의미를 포함할 수 있고, 그러한 표현이 수학을 이해하는 데에도 효과가 있기 때문입니다. 예를 들면, 뉴턴 과 라이프니츠는 같은 시대 사람으로 미적분학을 독립적으로 발명하였는데, 라이프니츠의 미적분 개념 이 유럽 대륙에서 더욱 발전할 수 있었던 것은 기 호체계의 사용에서 뉴턴의 것보다 라이프니츠의 것 이 보다 더 간결하고 명확하였기 때문이라는 것은 잘 알려진 사실입니다.

수학 학습을 통해서, 훈련된 효과적인 간결한 표현 능력은 자신의 생각이나 의도를 간결, 명확하게 표 현하는데 큰 도움을 줄 것이며, 자신의 표현 습관 으로 자리 잡게 될 것은 자명합니다. 또, 수학적 아이디어나 개념들은 추상화 과정을 거쳐 일반화됨 으로써 그 적용 범위가 확대됩니다. 주어진 특정 상황에 대한 분석을 하여 그 결과를 추상화시켜서 유사한 다른 상황에 적용하는 능력, 즉, 일반적인 원리를 구성하는 고도의 정신적인 기능은 수학 학습 을 통해서만이 훈련될 수 있습니다.

10. 수학은 결과를 예측 가능하게 합니다.

바둑에서 전체 국면의 상황을 파악하여 유불리를 평가하는 형세 판단은 가장 고급스러운 기술로 인식 됩니다. 형세 판단이 어려운 이유는 “미완성의 영 토의 가치에 대한 계산이 어렵기 때문이라 합니다. 즉, 수학의 힘을 빌려서, 형세 판단을 통해서 승리 의 예측 가능성을 판단한다고 합니다.”

어떤 사업을 시작할 때도 수학적인 사고를 적용 한다면, 예측이 가능하여 성공 여부를 판단할 수 있는 힘이 생깁니다. 특히, 확률 및 통계학 등이 결과 예측에 많은 도움을 줍니다.

모든 수학자들이 그런 것은 아니겠지만 확률을 분석 할 줄 아는 능력이 있으면 도박에서 돈을 딸 가능 성이 높은 것은 사실입니다. 외국에서는 수학자들 이 도박게임의 승률과 성공전략을 수학적으로 증명 하여 학회에서 발표하는 일이 흔하며, 이를 통해 새로운 확률과 통계이론을 발전시켜 왔습니다.

최근 세계증시의 심장인 뉴욕 월가에서 수학자들 이 각광을 받는 이유는 역시 “이러한 확률과 통계이 론에 근거한 과학적 ‘투자도박’을 하기 때문입니다.” 현재 월가에서 활동하는 수학자는 1,000여명이 넘 는다고 합니다. 예컨대, “증권 선물 시장에서 어떤 값에 거래를 할 것인가를 결정하는 ‘블랙, 숄즈 공식’ 은 상품의 구매가, 현시가, 구매시점까지의 기간, 이자율, 시장의 유동성 등 5가지 값으로 투자가격 을 계산해 낸답니다.” JP모건, 골드만 삭스, 모건 스탠리 등 투자회사들은 수학자들을 동원하여 추상 의 세계로 여겼던 수학을 끌어내려 투자기법을 과 학화하고 있답니다.

11. 수학은 세상의 아름다움을 설명하는 데 꼭 필 요합니다.

수학을 공부하는 데는 “일정한 규칙성, 조화성, 대칭성 및 비대칭성, 상대성, 비례성, 위상적인 성질 등이 아주 중요한 요소들”입니다.

자연 속에 살고 있는 동물이나 식물 등은 모두 이런 성질이나 구조를 갖고 있습니다. 사람의 DNA 구조도 자세히 보면 위상구조로 되어 있으며, 고동, 해바라기 씨, 유명한 고대 궁궐, 비너스 상, 텔레비 전 화면, 명암 등은 대부분 황금비 또는 피보나치 수열로 이루어져 있다는 것을 알 수 있습니다. 미술 의 원근법, 음악의 화성법 등도 수학으로 설명이 되며, 수학의 사용 없이는 아름다움을 창조해 낼 수가 없습니다. 이것은 아주 작은 예에 불과합니다. 과학자 케플러는 우주만물 중에 많은 곳에서 황금 비를 발견할 수 있음을 깨닫고 “황금비를 신의 비 례수”라고 불렀으며, 단테는 “황금비는 신이 만든 예술품이다”라고 말했지요．

또, 러셀은 “수학은 최상의 아름다움을 지니고 있 다. 가장 위대한 예술만이 보여줄 수 있는 그런 아 름다움”이라 말했으며, 미타그-레플러는 “천재 수 학자와 천재 화가는 서로에게 영향을 미친다”고 말 했습니다.

12. 수학은 우리가 살아가는데 꼭 필요한 언어이며, 고정관념도 깨뜨려 줍니다.

평행, 수직, 삼각형, 사각형, 육면체, 팔면체, 원, 타원 등의 개념은 우리의 일상생활에서 꼭 필요한 단어입니다. 우리는 수학을 몰라도 살아갈 수 있다 고 주장하지만, 실제로 이런 단어들을 모르면 우리 는 사회에서 정상적인 사회 일원의 역할을 수행하 기가 어려우며, 다른 사람들과의 의사소통도 원활 할 수 없습니다.

천문학자이자 과학 저술가인 칼 세이건이 쓴 소설 “콘텍트(Contact)”가 영화로 만들어져 상영되었는 데, 일종의 수학에 관한 영화입니다. 이 영화에서 칼 세이건은 다음과 같이 말했습니다. “수학은 우 주 어디에서도 통용될 수 있는 보편적인 언어이다.” 또, 수학자들은 한 가지 문제에 대해 한 가지 풀 이방법으로 만족하지 않습니다. 그리고 틀에 박힌 문제풀이에 만족하지 않고 고정관념을 깨뜨려 새로 운 풀이방법을 찾으려고 노력합니다. 현대는 고정 관념에서 벗어난 새로운 아이디어가 높은 가치를 창출하는 사회입니다. 수학은 그러한 사회에 적합 한 인재를 양성하는 데 아주 중요한 역할을 합니다. “다리 구석구석 아무 문제가 없는지 잘 살펴보고 난 다음에야 다리를 건너는 사람은 멀리 가지 못한 다. 가끔은 위험을 무릅쓸 줄도 알아야 한다. 수학 도 마찬가지다”라고 호레이스 램이란 수학자가 말 했습니다. 이 말은 “남들이 이미 증명한 문제에만 매달리지 말고, 고정관념을 깨고 새로운 문제에 도 전해보라는 뜻”입니다. 새로운 도전을 함으로서 새 로운 수학을 발견할 수 있으며 자신의 능력도 발전 되리라 생각합니다.

보통의 사람은 피타고라스 정리의 증명방법을 몇 가지만 알고 있지만, 수학자들은 현재까지 370여 개 이상의 증명방법을 찾아내었습니다.

IV. 마무리

오늘날 사회는 다양하게 급변하고 있으며 사회의 모든 분야가 눈부시게 발전하고 있습니다. 인간이 해야 할 일들이 줄어들고 있는 반면에 컴퓨터, 인공 지능 로봇 등이 등장하여 인간이 할 일들을 대신하 고 있습니다. 이러한 획기적인 발전 이면에는 수학 이란 학문이 자리 잡고 있습니다.

미국의 대통령도 “연두 기자회견에서 수학의 중 요성”을 밝힌 바 있으며, 마이크로 소프트 회사의 대표인 빌 게이츠도 “미국이 세계를 지배하고 있는 것을 유지하려면 수학교육이 필수”라고 말한 바 있 습니다.

미국의 유명한 증권 시장인 월가를 수학을 전공 한 많은 사람들이 장악하고 있다는 사실에 우리는 주목해야 합니다.

그 외에 많은 학자들이 “수학의 중요성에 관한 글들”을 최근에 언론매체를 통해서 밝힌 바 있습니 다. 그러나 우리의 기초과학의 현실은 점점 죽어가 고 있는 실정입니다. 이러한 결과가 “이공계 기피 현상”을 낳고 말았습니다.

실업계고등학교에서는 수학이 기타과목이라는 이 야기는 오래 전의 이야기이지만, 이제는 “인문계 고등학교 조차도 수학이 기타과목으로 전락하고 있 다”는 이야기에 우리는 귀를 귀울여야 합니다. 최 근에는 수학, 물리 등의 과목에 대해서, 중등학교 에서만 실시하고 있는 수준별 수업을 대학에서까지 실시하고 있는 실정입니다.

수학을 연구하고 가르치는 우리는 무거운 책임감 을 갖고, 학생들에게 수학의 중요성을 인식시키고, 수학과 기초과학에 많은 흥미를 갖도록 혼신의 노력 을 다해야 합니다.

이것은 수학의 발전 없이는 국가의 발전의 미래 를 기대할 수 없기 때문입니다. 수학이 바로 국가 경쟁력입니다.

수학을 연구하고 가르치는 우리가 귀담아 들어야 할 가우스의 명언 중에 하나가 생각납니다.

“세계를 지배한 정복자들은 이 말을 새겨들어야 한다고 생각한다. 왕국은 결코 정복되는 일이 없다. 다만 그의 팔을 남에게 뻗었을 뿐이다. 진정한 의미 의 정복이란 없다. 수학을 아무리 잘한다고 해도 수학이라는 거대한 대륙은 결코 정복할 수 없다. 다른 사람들은 나를 보고 수학을 통달한 도사, 천재, 정복자라고 하지만 나는 아직도 한참 멀었다. 그리 고 그런 도사는 존재하지 않는다. 우주가 그런 것 처럼 수학은 아주 광활하여 앞으로도 영원히 정복 할 자가 없을 것이다.” 그러므로 우리는 아주 광활 하고 미개척 분야인 수학을 정복하기 위해서 끊임 없이 노력해야 합니다. 이렇게 함으로써, 수학은 더욱 더 발전되리라 확신합니다.

끝으로, 이것을 실천했던 어느 수학자의 명언 하나 를 소개하고 이 글을 끝맺을까 합니다.

“내가 괴로울 때는 이 괴로움을 없애기 위해 수학 을 공부했고, 내가 행복해졌을 때는 이 행복을 유 지하기 위해서 수학을 공부하였다.”

(*) 이런 중요한 글을 쓰기 위해서 부득이 여러 저 자들의 책 또는 인터넷 등에서 인용한 문구들이 이 글속에 있습니다. 지면 관계로 인용한 책들과 인터 넷 주소를 일일이 명시하지 않고 생략한 것에 대해 서 모든 저자들에게 간곡한 양해의 말씀을 구합니 다. 그리고 이 글을 끝까지 읽어 주셔서 감사드립니다.